医療系の測定にかかわる
疑問だったかな？
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サンプリングは、連続したアナログ量を、間引いて（通常ADCでディジタル化）して処理をする前処理です。 そのとき、サンプリング前のアナログ量を、正確に代表しているデータ系列が欲しいわけです。 何もしないで、再アナログ化（DA)したら、もとのアナログ信号を生成できるものでないと、ディジタル領域で演算とか何をやっているのか、無意味になってしまいます。
ナイキストさんや、染谷さんがいうには、サンプリング周波数の１／２倍以上の周波数が混じっていると、正しく再現できないと解析しています。 CD等の44.1kHzは、人間の耳が２０ｋHzなんてまともに聞こえないだろうと決めて、決めたようなものです。
存在してはいけない高域を含んだデジタルデータをDACでアナログに戻すと、サンプリング周期のアナログポイントでは、確かに、正しいかもしれないけれど、アナログ的につないだ時間帯は、うねうねと脈動してしまいます。
元信号に、変なノイズが乗っていて、たまたまサンプリングのタイミングにノイズのピークだとか（逆側ピーク）だったりしたら、その点をつないで、元の信号予想できそうにないでしょう？
つまり、サンプリングした時に元信号が想像できるように帯域制限するのが、ローパスフィルタで、ご質問の同一帯域ということは、限定必要な１／２周波数よりさらに高い周波数成分もふくまれるし、原理的に含まれてはいけない２倍周波数の信号が、たった１／２にしか減衰されていないとんでもない離散データをねつ造していることになります。
サンプリング周波数に近い周波数のノイズがいた場合、たとえば、ちょっと低い周波数の信号が乗っていた場合。最初のサンプリングで、偶然ちょうど位相0度で、次に、少し遅い周波数なので、-10度、さらに-20度...と、36回サンプリングでちょうど一サイクルの正弦波がねつ造されます（そういう周波数の場合の例）。これを折り返しノイズと呼ぶのですが、無視できない高周波がいると変な周波数成分をもったデータがねつ造されてしまいす。
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いや、折り返しノイズが発生しないように、サンプリングの前にLPFをかけるという事。サンプリングした結果折り返しノイズが入った場合、これを、原信号由来なのか、折り返しノイズなのか判別不能です。
ローパスフィルタのカットオフ周波数の話は、dai＊さんが説明されているとおり、たかだか、通過域のゲインに対して、高々１／２のゲインになるにすぎません。RC直列回路は、r-1/ωCで、R=1/ωCとなるωがカットオフと一般に言われる周波数。抵抗値が２直列で等しいから、半半分といういみ。同様にこの式から、周波数が倍にはれば、インピーダンスが２倍になるというオクターブ事に半分になるという意味になります。周波数軸対数にしてゲインを書くと、カットオフで、ゲイン１／２になって、オクターブ３ｄｂの下り直線を引いて、建前、これと低域で(1/ωｃ<<R)フラットの直線の交わるまでを便宜上フラットと扱う（ωが小さしときＲとの比が小さいので）。制御したい信号に対して、少なくともその信号の少なくともその２倍以上のサンプリング周波数が必要で、どのくら上が必要かというと、ＬＰＦで帯域制限する場合に、折り返しノイズがでても影響がない程度にオクターブ３ｄＢで減衰できたと思われる周波数の２倍の周波数でサンプリングが必要です。このどの程度余裕つけないといけないかは、ＬＰＦが、１次なら３ｄＢ／オクターブだけど、より高次にすればより減衰が大きくなります。高次のフィルタは、位相周りがいろいろあるので、変なフィードバックすると、遅れが邪魔してハンチングするとか、いろいろあるようなのですが、申し訳ないが、制御系まったく不案内なので、この程度の話しかできません。ごめん。
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以下雑文つづきますが省略（ためしに読んでくれてもよし：折り返しの例とかdBの話とか
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